楼主的题目问的有点不够清晰。。。判断方法当然是有的而且很多，真正问题是有没有简单而浅白的方法（例如初中生甚至小学生都能够轻易理解的）。。。
俺目前偏向使用比较直白的笨方法，需要一点繁复的四则运算，好处是不需要微积分甚至解二次方程之类的这些高中或初中才学到的数学手段。。。
首先列出这三道算式：
a² = 4b - 18
b² = 7 - 10c
c² = 6a - 27
假设a,b,c有实数解，则从第一、三式得出【a,b ≥ 4.5】，再代入第二式得出【c ≤ -1.55】。
从第一、三式：
(6a)² = 36(4b - 18) = 144b - 648
(6a)² = (c² + 27)² = c⁴ + 54c² + 729
∴ 144b = c⁴ + 54c² + 1377
(144b)² = (c⁴ + 54c² + 1377)² = c^8 + 108c⁶ + 5670c⁴ + 148716c² + 1896129
从第二式：
(144b)² = 20736(7 - 10c) = 145152 - 207360c
∴ c^8 + 108c⁶ + 5670c⁴ + 148716c² + 207360c + 1750977 = 0
此时学过高数的大学生甚至高中生可以使用各种手段解出这道一元八次方程，得出c的八个不同复数解，进而算出a、b和a+b+c的八组不同复数解，当然也顺便证明了原题的三组方程并无任何实数解。。。
但是按楼主的要求，咱们只要证明这道式子没有任何c的实数解就够了，那么可以这样：
c^8 + 108c⁶ + 5670c⁴ + 148716c² + 207360c + 1750977 = 0
c^8 + 108c⁶ + 5670c⁴ + (45036+103680)c² + 207360c + (103680+1647297) = 0
c^8 + 108c⁶ + 5670c⁴ + 45036c² + 1647297 + 103680(c² + 2c + 1) = 0
c^8 + 108c⁶ + 5670c⁴ + 45036c² + 1647297 + 103680(c + 1)² = 0
明显式子左方除了常数项1647297外其余五项对于任何实数c都不小于0，所以对于任何实数c式子左方的总和都必定大于0，所以这道式子绝对不可能有任何实数解。【证完】