4楼. 结论
该集合所有数的和是无理数或0
证明
首先给一个推论
推论①,假设一元n次方程,每一项的系数都是有理数,该方程定义为特征方程F,该特征方程F有一个解为a+b,其中a为有理数,b为无理数,且b²是有理数,则该特征方程F必然有解a-b。
将a+b代入方程,对于xⁿ项二次项展开,必然是类似ka+mb形式,其中k、m是有理数。而将a-b代入方程,同样的xⁿ项,展开就是ka-mb。所有ka+mb最终的和为0,则所有ka-mb的和也必然是0。
然后证明原命题。
第一步先证明
仅两个无理数,且这两个无理数的乘积是无理数,则和必然是无理数
不妨记这两个无理数是A,B,有A²和B²都是有理数,有P=A+B,假设P是有理数
设方程
(x-B)(x+B)=0
该方程为特征方程F,且方程有解
x=B=P-A
由推论①,则x=P+A也是方程的解
代入该方程,有
(P+A-B)(P+A+B)=0
化简
(2P-2B)(2P)=0
明显P≠0,且P是有理数,B是无理数,2P-2B是无理数,不等于0
矛盾。所以A+B是无理数或0。
第二步,数学归纳法,假设不大于n个无理数,每个无理数的平方都是有理数,则这些无理数的和是无理数或0。那么证明n+1个同样的无
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