27楼. 第五题:
令喜欢=1,不喜欢=0。若对一个方阵中的某些元素的数值进行变换后,其各行、列、对角线上的和均不变,则称改变的元素位置为一个“有效的变阵”。
显然,一个方阵满足条件,当且仅当其除四个角外每个元素都位于某个“有效的变阵”上。
若8个点形成的图形满足
1 是一个凸八边形
2 每条边都与行或列或对角线平行
3 与行/列相平行的两条边构成一个正方形
则称其为一个“八卦阵”。
最小的八卦阵是4x4
○ ● ● ○
● ○ ○ ●
● ○ ○ ●
○ ● ● ○
显然任何1-0交替出现的八卦阵都是有效的变阵:
○ 1 0 ○
0 ○ ○ 1
1 ○ ○ 0
○ 0 1 ○
因此6x6的方阵即满足条件:除角点外每个元素都位于某个有效的“八卦阵”上。简单构造:
x 1 0 1 0 x
0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1
x 1 0 1 0 x
(x为随便什么数)
以下为不负责的猜想:
1 任何有效的变阵都可以分解为若干个有效的八卦阵。
如果成立,则6x6就是满足条件的最小方阵
2 不能构造出满足条件的奇数行的矩阵。
东山老僧 2018-10-18 回复(6) 29楼. 对于第五题,学过线性代数矩阵方程的同学可以试试用矩阵方程系数是否列满秩来分析。
n阶方阵共有n^2个元素,把这n^2个元素作为未知数,可列出6*n-2个方程,由此可得到矩阵方程,系数矩阵的维数是6*n-2行n^2列。
首先通过矩阵初等变换,将其他行都加到第一行后,第一行元素将全是4,由此可以得到题设已给的信息,即喜欢的总人数是教官说的数的总和的1/4。
对于非方阵的矩阵,如果矩阵是列满秩的且方程组相容,那么方程组有唯一解,就不会出现无法确定的情况,当矩阵是列降秩时方程有多维解空间,就会出现无法确定的情况。
最基本的知识,当列数大于行数时矩阵一定是列降秩,这时一定会有无穷多解,但需要证明是否有多种自然数解。
当列数小于行数时,也不一定就是列满秩,本题有可能是这样,需要证明。
如果能验证本题系数矩阵:列数小于行数时列满秩,列数大于行数时列降秩且有自然数解,那结论就是6*n-2<n^2,n=6,不确定结果是否正确,还没进行推导
wyx8904wyx8904 2018-10-18 回复(3)