11楼. 第一题思路(差中间最关键一步的证明)
三堆时,最大公约数是x,且x≠1,则每堆可以将数量除以x,不影响结果
那么三堆是偶奇奇,两奇变化,就是三偶,可以同时除以2,必然在有限次后是偶偶奇或三奇
三奇时,两奇变化就是偶偶奇
所以只用考虑偶偶奇的情况
偶偶奇时,必然可以在有限次变化后,使两偶分别和奇互质。
而互质的偶+奇必然可以变成(偶,1)的两堆(这一步没具体证明,大致考虑一下,应该正确),进而变成(奇,2)。
那么必然可以保证另一个偶和奇出现2。(如果另一个偶和奇数不互质,调整最初的偶偶奇既可保证互质)。
有两个2,自然可以一堆是0
gf10025 2018-12-17 回复(2) 12楼. 看来这些题目还是太难了。发下第一题答案吧:
三堆硬币记为abc,它们的的初始值为a0,b0,c0,且a0≤b0≤c0。显然b=a是一个能完成任务的充分条件。不难发现,如果b=2k×a,只需对c和a进行操作,就可以达到b=ka的状态。同样如果b=(2k+1)a,只需对b和a操作,就可以达到b=ka的状态。重复这一过程,b/a的值在严格减小,且b永远≥a,c也永远不会用完。当b/a减小到1时,即可完成任务。因此得出结论:b0被a0整除是一个能完成任务的充分条件。
接下来,很自然地,若b0不能被a0整除,使用带余除法将b写成n×a0+r(r<a0)。和上一步采取同样的操作(n=2k时操作c和a;n=2k+1时操作b和a)最终可以使n=0,即b=r。注意r<a0,因此此时三堆硬币的最小值一定小于a0。将新的最小值记为a0,重复上面的操作,可以使最小值严格减小。当最小值减小为1时,b0一定被a0整除,于是可以完成任务。
这个证明主要是为了表述我的思路,事实上作为答案可以更简洁一些。
东山老僧 2018-12-28 回复(12) 14楼. 第5题:先考虑2个按钮的情况,如果都是开,就直接开了;如果都是关,同时按2个按钮,锁就开了;如果一开一关,随便按一个按钮,锁就变成2开或2关,再按2个按钮,也开了。总得操作步骤就是,先同时按2个,再按其中1个,再同时按2个,其中必有一次操作后锁能被打开
foxfoxa9 2018-12-29 回复 15楼. 继续第5题:4个按钮的情况,将1,3和2,4分成2组,看成2个大锁,当1,3都开或都关是,记这个大锁为开,1开1关的情况记大锁为关,2,4同理看成一个大锁。如果2个大锁都是开,通过同时按4个按钮,按1,3按钮,再按4个按钮,一定能打开。如果2个大锁都是关,先执行上面3步,不会改变大锁状态,按1,2,2个大锁都会变成开,再重复上面3个步骤即可。如果大锁一开一关,执行上面的所有步骤,不会改变大锁状态,这时按1,就能把大锁变成同时开或关,再按上面的操作开锁。总体步骤就是:按4个,按1,3,按4个,按1,2,按4个,按1,3,按4个,按1,按4个,按1,3,按4个,按1,2,按4个,按1,3,按4个
foxfoxa9 2018-12-29 回复 16楼. 接楼上,8个按钮就是先把1357分一组,2468分1组。15算4个情况的一个大锁,37算一个大锁,如果2个大锁状态相同,记1357这组为开,否则记为关。还是按照上面的思路,把2组先都调成开,再分别调2组内部,1357和2468的状态不会互相影响,所以经过反复实验,一定能开锁,步骤太麻烦,不写了
foxfoxa9 2018-12-29 回复 17楼. 第4题,应该是不能,考虑能到(0,Y),记直线y=a上所有点的分值为k^a,k=(根号5 - 1)/2,可以得到,每次跳跃棋子总分值不增。然后对于(0,Y)有意义的棋子是y=x和y=-x在y<0区间里的所有棋子,对所有这些棋子求和,这个和是收敛的(2个无限等比递缩数列的嵌套,值就不算了),找一个比这个和大的Y,(0,Y)这个点就是不可达的
foxfoxa9 2018-12-29 回复(1) 18楼. 第5题,8个锁情况重写一下吧
把15,26,37,48这4对锁看成4个大锁,15记为1号大锁,类推,大锁里2两个锁同开同关时大锁记为开,开关不同记为关。
先考虑4个大锁都是开的情况,按照上面4个锁的步骤操作4个大锁,比如按1变为按15,就可以将全部的锁打开。记这一套操作为动作1,由于动作1的每个操作都同时操作大锁里的2个小锁,所以动作1不会改变大锁的状态。
再考虑对1234号小锁进行上面4个按钮的操作,在这个过程中,一定会出现4个大锁同时为开的情况。
那么,总体步骤就是按照上面4个锁的操作,没次操作后,加一个动作1就可以了
foxfoxa9 2018-12-30 回复(5) 19楼. 动作1:按8个,按15,37,按8个,按15,26,按8个,按15,37,按8个,按15,按8个,按15,37,按8个,按15,26,按8个,按15,37,按8个
foxfoxa9 2018-12-30 回复 20楼. 全部的步骤:按1234,动作1,按1,3,动作1,按1234,动作1,按1,2,动作1,按1234,动作1,按1,3,动作1,按1234,动作1,按1,动作1,按1234,动作1,按1,3,动作1,按1234,动作1,按1,2,动作1,按1234,动作1,按1,3,动作1,按1234,动作1
foxfoxa9 2018-12-30 回复