1楼. 均有确切答案,不会坑
东山老僧 2018-12-11 2楼. 1 挪硬币(难度:低)
桌上有三堆硬币,每堆有若干枚。你每次可以选取两堆硬币进行如下操作:从较多(允许数量相等)的一堆中拿出与较少的一堆相同数量的硬币,放入较少的一堆。这样就使较少的一堆的硬币数量翻倍,而较多一堆的硬币的数量变为两者之差。如果你选择的两堆数量相等,则操作完之后其中一堆数量翻倍,另一堆则数量变为0。
请设计一种策略,使得对任意初始情况,总能通过若干步操作,将其中一堆的数量变为0。
东山老僧 2018-12-11 回复(5) 3楼. 2 战棋 (难度:低)
Alice和Bob玩战棋游戏。规则如下:
Alice派出一枚棋子,Bob派出一枚棋子应战。把两枚棋子的战斗力分别记做x,y, 则他们战斗的胜率分别是x/(x+y), y/(x+y)。对战后,将输掉的棋子移出游戏,然后开始下一轮。如果一方失去了全部棋子,则判定他失败。
现在Alice的棋子战斗力分别为x1,x2.....xn,Bob的棋子战斗力分别为y1,y2....ym。如果Alice每次都派出她最强的棋子出战,Bob应采取何种策略对敌,才能使自己的胜率最大化?
东山老僧 2018-12-11 回复(2) 5楼. 3 猜帽子 (难度:较高)
15个囚犯每人的头上被随机地戴上了红色或黑色的帽子。每个人的帽子为红色的概率均为50%,且互相独立。每个人能看到其他人头上的帽子颜色,却不能看到自己头上的帽子颜色。接下来,15个人被各自带到独立的房间,并被要求猜测自己头上帽子的颜色,但他们可以选择不猜。如果有超过1人选择了猜,且所有选择猜的人都猜对了,则全部囚犯都将被释放;否则全部囚犯均将被处决。
戴上帽子之后囚犯们无法交流,但在这之前他们可以商议出一个策略。请设计一个策略,使囚犯们被释放的概率超过90%。
东山老僧 2018-12-12 回复(11) 7楼. 4 跳棋 (难度:较高)
在无限大的x-y平面直角坐标系上,x轴下方每个坐标为整数的点都放有一枚棋子。棋子可以“跳跃”,即:使一枚棋子“跳过”与它“相邻”(在8个方向上)的另一枚棋子,并放在相对被跳过棋子对称的位置上(当然对应位置必须有空位)。于此同时,被跳过的棋子会被“吃掉”。如图所示:
●●○○->○○●○
注意跳跃可以沿上下左右以及对角线8个方向进行。请问,对任意正整数Y,你能否总能通过有限次的跳跃,使某一枚棋子落在y=Y的直线上?
东山老僧 2018-12-14 回复 9楼. 5 八门金锁 (难度:高)
这是一把奇怪的锁,它的表面只有八个按钮,整齐地排列成正八边形。但你知道,每个按钮的下方都有一个机关,每个机关均有“开”“关”两种状态;只有所有机关均处在“开”时,锁才能打开。当你按下某个按钮,其下方的机关就会切换状态,但按钮会复原,你无法从锁的表面看到机关的状态,更不知道机关的初始状态。更加要命的是,当你每次按下按钮之后,其下方的机关会围绕其中心进行随机地旋转,从而改变按钮与机关的对应关系,而你无从得知每次旋转究竟转了多少。唯一的好消息是,你每次可以同时按下多个按钮。
请设计一个方案,能够用至多有限次按下按钮的操作,「确保」将锁打开。
东山老僧 2018-12-15 回复(1) 12楼. 看来这些题目还是太难了。发下第一题答案吧:
三堆硬币记为abc,它们的的初始值为a0,b0,c0,且a0≤b0≤c0。显然b=a是一个能完成任务的充分条件。不难发现,如果b=2k×a,只需对c和a进行操作,就可以达到b=ka的状态。同样如果b=(2k+1)a,只需对b和a操作,就可以达到b=ka的状态。重复这一过程,b/a的值在严格减小,且b永远≥a,c也永远不会用完。当b/a减小到1时,即可完成任务。因此得出结论:b0被a0整除是一个能完成任务的充分条件。
接下来,很自然地,若b0不能被a0整除,使用带余除法将b写成n×a0+r(r<a0)。和上一步采取同样的操作(n=2k时操作c和a;n=2k+1时操作b和a)最终可以使n=0,即b=r。注意r<a0,因此此时三堆硬币的最小值一定小于a0。将新的最小值记为a0,重复上面的操作,可以使最小值严格减小。当最小值减小为1时,b0一定被a0整除,于是可以完成任务。
这个证明主要是为了表述我的思路,事实上作为答案可以更简洁一些。
东山老僧 2018-12-28 回复(12) 21楼.
@foxfoxa9 基本上完美解决了第五题。事实上,可以证明当且仅当开关数目为2的整数幂时,能够保证在有限步骤内开锁。
东山老僧 2019-1-8 回复 23楼. 6 不相交的线段 (难度:低)
平面上有n个红点,n个蓝点,任意三点不共线。红点和蓝点之间可以建立一一对应关系;对每种对应关系,把相对应的红点与蓝点连起来,形成n条线段。证明:总存在这样的对应关系,使得相应的n条线段两两不相交。
东山老僧 2019-1-9 回复 24楼. 7 两点一线 (难度:中)
平面上有多于2个的有限个点,它们不全在一条直线上。证明:存在一条直线,恰好经过其中的2个点。
东山老僧 2019-1-9 回复(2)