1楼. 有限个实数组成一个集合,已知
1,其中至少有一个是无理数
2,该集合中任意一个实数x,有x²是有理数
请问,这个集合中所有数字的和是不是有理数
gf10025 2-7 10:01 2楼. 我选一个根号2其它都选整数,和不就是无理数吗
pijkad🎁 3-7 11:26 回复 3楼. 对于1个无理数+其他都是有理数的集合,数字之和是无理数;2个相反无理数+其他都是有理数的集合,数字之和是有理数…
所以,这个问题问的是,如何判定符合条件的集合的数字和是有理数还是无理数吗?
C爪机留名C 3-7 19:19 回复(4) 4楼. 结论
该集合所有数的和是无理数或0
证明
首先给一个推论
推论①,假设一元n次方程,每一项的系数都是有理数,该方程定义为特征方程F,该特征方程F有一个解为a+b,其中a为有理数,b为无理数,且b²是有理数,则该特征方程F必然有解a-b。
将a+b代入方程,对于xⁿ项二次项展开,必然是类似ka+mb形式,其中k、m是有理数。而将a-b代入方程,同样的xⁿ项,展开就是ka-mb。所有ka+mb最终的和为0,则所有ka-mb的和也必然是0。
然后证明原命题。
第一步先证明
仅两个无理数,且这两个无理数的乘积是无理数,则和必然是无理数
不妨记这两个无理数是A,B,有A²和B²都是有理数,有P=A+B,假设P是有理数
设方程
(x-B)(x+B)=0
该方程为特征方程F,且方程有解
x=B=P-A
由推论①,则x=P+A也是方程的解
代入该方程,有
(P+A-B)(P+A+B)=0
化简
(2P-2B)(2P)=0
明显P≠0,且P是有理数,B是无理数,2P-2B是无理数,不等于0
矛盾。所以A+B是无理数或0。
第二步,数学归纳法,假设不大于n个无理数,每个无理数的平方都是有理数,则这些无理数的和是无理数或0。那么证明n+1个同样的无
(1/2)
下一段 gf10025 3-26 05:04 回复(2) 5楼. 补充一下
关于F(x)的系数都是有理数的说明
为了证明n+1个无理数之和是无理数或0
需要构造一元2^n次方程F(x)=0
以n=3为例
为证明a+b+c+d是无理数或0
需要构造F(x)=
(x+b+c+d)(x+b+c-d)(x+b-c+d)(x+b-c-d)*
(x-b+c+d)(x-b+c-d)(x-b-c+d)(x-b-c-d)
不管b和c,单独看d
一二项只出现d^2,三四项只出现d^2,
五六项只出现d^2,七八项只出现d^2,
说明d在F(x)中只以d^2的形式出现
不管c和d,单独看b
一五项只出现b^2,二六项只出现b^2,
三七项只出现b^2,四八项只出现b^2,
说明b在F(x)中只以b^2的形式出现
同理c在F(x)中只以c^2的形式出现
综上可知F(x)的系数都是有理数
----------------------------
由第八项可知b+c+d是F(x)=0的解
假设a+b+c+d=p,且p为非0有理数
则p-a=b+c+d为F(x)=0的解
所以则p+a=2a+b+c+d为F(x)=0的解
代回F(x)=0可得
(2a+2b+2c+2d)(2a+2b+2c)*
(2a+2b+2d)(2a+2b)*
(2
(1/2)
下一段 wyx8904wyx8904 3-28 01:19 回复 6楼. 没太看懂结论,如果只有4个数,根号2,2*根号2,-3*根号2, 1 ,和难道不是1吗?
和一定为零这个结论是怎么得出来的?这个不是跟集合里面有理数的值相关吗?
nice_cxf55 4-2 11:25 回复(3)