4楼. 理数的和是无理数即可。
同样设
P=A+B+C+D+……,P是有理数,将(B,C,D,……)中的每个数乘(-1)ⁱ,其中i为0或1,那么可以得到一个一元2n
次特征方程F,P-A是方程的一个解,将P+A代入,那么就得到一个类似
2P(2P-2y)(2P-2z)……=0的方程, 其中y,z……是(B,C,D,……)中任意个的和,为无理数或0。
所以要2P(2P-2y)(2P-2z)……=0成立,就必须P=0
得证
可以有推论,该集合所有无理数都大于0或都小于0,则这些无理数的和必然是无理数。
(2/2)
上一段gf10025 3-26 05:04 回复(2) 5楼. 补充一下
关于F(x)的系数都是有理数的说明
为了证明n+1个无理数之和是无理数或0
需要构造一元2^n次方程F(x)=0
以n=3为例
为证明a+b+c+d是无理数或0
需要构造F(x)=
(x+b+c+d)(x+b+c-d)(x+b-c+d)(x+b-c-d)*
(x-b+c+d)(x-b+c-d)(x-b-c+d)(x-b-c-d)
不管b和c,单独看d
一二项只出现d^2,三四项只出现d^2,
五六项只出现d^2,七八项只出现d^2,
说明d在F(x)中只以d^2的形式出现
不管c和d,单独看b
一五项只出现b^2,二六项只出现b^2,
三七项只出现b^2,四八项只出现b^2,
说明b在F(x)中只以b^2的形式出现
同理c在F(x)中只以c^2的形式出现
综上可知F(x)的系数都是有理数
----------------------------
由第八项可知b+c+d是F(x)=0的解
假设a+b+c+d=p,且p为非0有理数
则p-a=b+c+d为F(x)=0的解
所以则p+a=2a+b+c+d为F(x)=0的解
代回F(x)=0可得
(2a+2b+2c+2d)(2a+2b+2c)*
(2a+2b+2d)(2a+2b)*
(2
(1/2)
下一段 wyx8904wyx8904 3-28 01:19 回复 6楼. 没太看懂结论,如果只有4个数,根号2,2*根号2,-3*根号2, 1 ,和难道不是1吗?
和一定为零这个结论是怎么得出来的?这个不是跟集合里面有理数的值相关吗?
nice_cxf55 4-2 11:25 回复(3)