1 2 4 8 16 32
1 1 2 4 8 16 32 最简单的解法 应该能压缩

1,3,9,27,81+1,2,4,8,16,32

8个的解法很多，比如10,11,12,13,15,16,17,18。不知道7个可不可以

第二题，如下

对楼主的第一题目前没条件解决，不过想到之前一个类似题目的取巧曲解：
用四个砝码，如何称出1~81的所有整数重量的物品？
答案是2、6、18、54，这里首先可以明确称出2~80所有偶数的重量 (平衡) ；至于1~81的奇数重量，可以把该奇数大1和小1的偶数各自比较一下，一个刚好比目标重，一个刚好比目标轻，结合起来就能确定该奇数重量。
当然，这个做法跟本帖第一题的要求应该不同。。。

第二题还是可以是算一算的。如果要求选中匹配值最高的概率最大，那可行的策略只有一种：若在第n轮之后遇到了见过的最大的匹配值，则进行选择。如果前n轮中最大匹配值的名次为m(m>1),则成功选中的概率为1/(m-1)。因此可以算出P(n)，大概长这样：

最大值大约是0.37，n=37时取得。。。看上去这个结果有点奇怪。。

第一题我想不出有效的算法。。。或许有时间可以试试暴搜

第二题如果女孩的人数N是确定的，那就是经典的秘书问题，策略是:放弃前［N/e］个人，选择之后第一个出现的比前面都好的人，如果没有，就只能选最后一个人了。在这样的策略下能够选到最好的人的概率收敛于1/e。
但现在的问题是人数不确定，所以至少还需要确定两个问题。一是每个人能来的概率分布，是否是独立同分布，每个人能来的概率p（n）是多少？二是所谓匹配度最高指的是来的人之中最高的还是这N个人之中最高的？

第三题，如下

随便写写 两组的话分别称为a组1～100 与b组1～101 第一称a50称b50 假设a50重 可以划去a52~a100与b1～b50的可能性 剩下的话感觉可以像这样反复比中间的数 肯定可以得出结果

1234 123 14231

5的话应该是12345 1234 12345 154321 所以n摆法估计是1~n，1~(n-1)这样交替 摆到最后一段就1,n~1 不知道行不行 证明略 我不懂数学

我猜是3n²/4，向上取整

第四题重发，如下

第五题，如下

第五题：
令喜欢=1，不喜欢=0。若对一个方阵中的某些元素的数值进行变换后，其各行、列、对角线上的和均不变，则称改变的元素位置为一个“有效的变阵”。
显然，一个方阵满足条件，当且仅当其除四个角外每个元素都位于某个“有效的变阵”上。
若8个点形成的图形满足
1 是一个凸八边形
2 每条边都与行或列或对角线平行
3 与行/列相平行的两条边构成一个正方形
则称其为一个“八卦阵”。
最小的八卦阵是4x4
○ ● ● ○
● ○ ○ ●
● ○ ○ ●
○ ● ● ○
显然任何1-0交替出现的八卦阵都是有效的变阵：
○ 1 0 ○
0 ○ ○ 1
1 ○ ○ 0
○ 0 1 ○
因此6x6的方阵即满足条件：除角点外每个元素都位于某个有效的“八卦阵”上。简单构造：
x 1 0 1 0 x
0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1
x 1 0 1 0 x
（x为随便什么数）
以下为不负责的猜想：
1 任何有效的变阵都可以分解为若干个有效的八卦阵。
如果成立，则6x6就是满足条件的最小方阵
2 不能构造出满足条件的奇数行的矩阵。

八卦阵的猜想1不对。
以楼上构建的6*6的图形，其变阵可以是
x0110x
110001
010110
010110
110001
x0110x
这个变阵不能分成1-0交替出现的八卦阵

对于第五题，学过线性代数矩阵方程的同学可以试试用矩阵方程系数是否列满秩来分析。
n阶方阵共有n^2个元素，把这n^2个元素作为未知数，可列出6*n-2个方程，由此可得到矩阵方程，系数矩阵的维数是6*n-2行n^2列。
首先通过矩阵初等变换，将其他行都加到第一行后，第一行元素将全是4，由此可以得到题设已给的信息，即喜欢的总人数是教官说的数的总和的1/4。
对于非方阵的矩阵，如果矩阵是列满秩的且方程组相容，那么方程组有唯一解，就不会出现无法确定的情况，当矩阵是列降秩时方程有多维解空间，就会出现无法确定的情况。
最基本的知识，当列数大于行数时矩阵一定是列降秩，这时一定会有无穷多解，但需要证明是否有多种自然数解。
当列数小于行数时，也不一定就是列满秩，本题有可能是这样，需要证明。
如果能验证本题系数矩阵:列数小于行数时列满秩，列数大于行数时列降秩且有自然数解，那结论就是6*n-2＜n^2，n=6，不确定结果是否正确，还没进行推导

两个八卦阵

第四题的一些想法：
首先，锁是由1~n的数字组成的序列，每次用钥匙k开锁的操作可以理解为：
1 用数字k把序列分成若干段，去掉其中一段
2 把所有的数字k去掉
显然操作可以任意排序，与使用钥匙的顺序无关。每次操作之后，n把钥匙的问题就缩减为n-1把钥匙的问题。但某些操作会引入“断点”。比如：
123412314231
如果先用4开中间一段，就变成了
123|231
如果先用2开一段，就变成了
1|31431
我觉得接下来的思路应该是根据抽屉原理，从出现频数最多或者最少的数字出发，构造某个随问题规模递减的量，来证明某些条件下一定能成功开掉所有的锁。

第六题，如下
已知一个信封.上最多只能贴.上3张邮票，现在邮政公司打算发行5种不同面值的邮票,单位为分，，且面值只能是正整数。另外，封信的邮费也是整数，有可能为不超过n分钱的任何数。
请问:n的最大值是多少?应该如何设置5种面值?
(同一面值邮票可以重复使用)

我一开始还以为不能裁剪……其实不能裁剪的情况比较有意思
能裁剪的话，如果裁剪操作维持面积不变（否则还能叫裁剪吗），那剪成无穷多片再糊成球面不就行了……

感谢老僧指出错误，第七题现重发，如下

第七题：
可以试着用不同的方式把正方形拼接成封闭图形（消除边界），再往里吹气。由于气体的热力学性质它一定会维持在体积最大的形状……
比如这样

当然有其他折法比如折成长方形，但是我觉得体积最大的解至少应该不浪费任何材料。。这样的话闭合边界的方式并不太多（大概？）
用物理方法近似解决数学问题由来已久，比如“称重法”计算曲线积分……“肥皂膜”法计算极小曲面……之类的。。。
解析解的话目测根本没有
形状想象一下，大概这样

第六题，如下
已知一个信封.上最多只能贴.上3张邮票，现在邮政公司打算发行5种不同面值的邮票,单位为分，，且面值只能是正整数。另外，封信的邮费也是整数，有可能为不超过n分钱的任何数。
请问:n的最大值是多少?应该如何设置5种面值?
(同一面值邮票可以重复使用)
我分析的结果是n=36，面值分别为1，4，6，14，15

假设面值分别为00111aaabbbcccddd，从中任选3个数进行组合，其中0<1<a<b<c<d。
我觉得d的值应该是有限的，否则可能会产生更多的空缺
那么在给定的d值下，abc就是2到d-1中任选3个数进行组合
剩下的事就交给计算机做了，写了个小程序，组合语句+循环语句
结果发现在d=15时n有最大值36，对应的abc组合是4,6,14。而且当d>25时，n定格在24上，说明当d>25时不能被用上，退化成发行4种面值的题目的答案
我一直认为编程本身不重要，编程只想法的实现，而想法，思维方法才是根本，才是最重要的

第六题是一个非常有名的数学问题，这个问题的原始表述为，一封信最多贴h张邮票，邮票共有k种不同面值，邮费能够达到的最大值为n，任意一组满足条件的面值组合称为n(h,k)的一组解。关于这个问题的研究由来已久，前人已经得出了很多有用的结论，但这个问题目前离彻底解决还相差了很远，关于它的研究目前主要包括但不限于以下几个:
1.n(h,k)是否存在具体的表达式？或者如何对其上下界不断逼近？
2.求n(h,k)的解是否存在一般方法？它的解集集合大小如何求？
3.如果允许存在负数的邮票面值，n(h,k)又该如何求？
4.是否存在求n(h,k)的多项式时间算法？

同样，可以得到如果只发行4种面值，应该是1，4，7，8，最大组合值是24，面值最大值大于16时（从17开始）无效，组合值定格在15上
对比发行5种面值，1，4，6，14，15，最大组合值是36，面值最大值大于25时（从26开始）无效，组合值定格在24上，似乎有一定规律，应该不用暴力计算也有理论分析方法