对于1个无理数+其他都是有理数的集合，数字之和是无理数；2个相反无理数+其他都是有理数的集合，数字之和是有理数…
所以，这个问题问的是，如何判定符合条件的集合的数字和是有理数还是无理数吗？

结论
该集合所有数的和是无理数或0
证明
首先给一个推论
推论①，假设一元n次方程，每一项的系数都是有理数，该方程定义为特征方程F，该特征方程F有一个解为a+b，其中a为有理数，b为无理数，且b²是有理数，则该特征方程F必然有解a-b。
将a+b代入方程，对于xⁿ项二次项展开，必然是类似ka+mb形式，其中k、m是有理数。而将a-b代入方程，同样的xⁿ项，展开就是ka-mb。所有ka+mb最终的和为0，则所有ka-mb的和也必然是0。
然后证明原命题。
第一步先证明
仅两个无理数，且这两个无理数的乘积是无理数，则和必然是无理数
不妨记这两个无理数是A，B，有A²和B²都是有理数，有P＝A+B，假设P是有理数
设方程
(x-B)(x+B)＝0
该方程为特征方程F，且方程有解
x＝B＝P-A
由推论①，则x＝P+A也是方程的解
代入该方程，有
(P+A-B)(P+A+B)＝0
化简
(2P-2B)(2P)＝0
明显P≠0，且P是有理数，B是无理数，2P-2B是无理数，不等于0
矛盾。所以A+B是无理数或0。
第二步，数学归纳法，假设不大于n个无理数，每个无理数的平方都是有理数，则这些无理数的和是无理数或0。那么证明n+1个同样的无理数的和是无理数即可。
同样设
P＝A+B+C+D+……，P是有理数，将(B，C，D，……)中的每个数乘(-1)ⁱ，其中i为0或1，那么可以得到一个一元2n
次特征方程F，P-A是方程的一个解，将P+A代入，那么就得到一个类似
2P(2P-2y)(2P-2z)……＝0的方程， 其中y，z……是(B，C，D，……)中任意个的和，为无理数或0。
所以要2P(2P-2y)(2P-2z)……＝0成立，就必须P＝0
得证
可以有推论，该集合所有无理数都大于0或都小于0，则这些无理数的和必然是无理数。

补充一下
关于F(x)的系数都是有理数的说明
为了证明n+1个无理数之和是无理数或0
需要构造一元2^n次方程F(x)=0
以n=3为例
为证明a+b+c+d是无理数或0
需要构造F(x)=
(x+b+c+d)(x+b+c-d)(x+b-c+d)(x+b-c-d)*
(x-b+c+d)(x-b+c-d)(x-b-c+d)(x-b-c-d)
不管b和c，单独看d
一二项只出现d^2，三四项只出现d^2，
五六项只出现d^2，七八项只出现d^2，
说明d在F(x)中只以d^2的形式出现
不管c和d，单独看b
一五项只出现b^2，二六项只出现b^2，
三七项只出现b^2，四八项只出现b^2，
说明b在F(x)中只以b^2的形式出现
同理c在F(x)中只以c^2的形式出现
综上可知F(x)的系数都是有理数
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由第八项可知b+c+d是F(x)=0的解
假设a+b+c+d=p，且p为非0有理数
则p-a=b+c+d为F(x)=0的解
所以则p+a=2a+b+c+d为F(x)=0的解
代回F(x)=0可得
(2a+2b+2c+2d)(2a+2b+2c)*
(2a+2b+2d)(2a+2b)*
(2a+2c+2d)(2a+2c)*
(2a+2d)(2a)=0
即
(2p)*2(p-d)*
2(p-c)*2(p-(c+d))*
2(p-b)*2(p-(b+d))*
2(p-(b+c))*2(p-(b+c+d))=0
由数学归纳法已经假设当n<=3时无理数之和一定是无理数或0
所以后七项一定不为0
从而p=0
这与前面假设“p为非0有理数”矛盾
所以p为无理数或0
从而证明了n=4时命题也成立

没太看懂结论，如果只有4个数，根号2，2*根号2，-3*根号2， 1 ,和难道不是1吗？
和一定为零这个结论是怎么得出来的？这个不是跟集合里面有理数的值相关吗？